以下, 全体集合を とします. 集合 に対して, を対称差と言います.実は, は対称差 を加法, 交叉 を乗法として単位的可換環の構造が入ります. 零元, 単位元はそれぞれ です.この事実は地道にやれば確かめることができますが, 対称差の結合律だけ少し面倒です. …

が加法群の準同型, すなわち, 任意の に対して, (Cauchyの関数方程式)ならば, 任意の に対して, と言えるでしょうか？答えはNoです. ならば, となることは容易にわかります.が(標準位相で)連続ならば, のハウスドルフ性と, が稠密部分集合なことより,任意の …

2本の を原点以外で同一視した商空間を とします. すなわち, .だだし, は の生成する最小の同値関係.つまり, は“原点が2つある”です. は局所ユークリッドだがハウスドルフ空間でない空間の例になっています. (2つの原点は開集合で分離できないため.) 2つの原…

(数式がうまく表示されないようです.)\( \textbf{Definition.} \) 位相空間 上に連続な二項演算 \( m \colon X \times X \to X \) が定まっているとする. このとき, 単位元 が存在するとき, すなわち, 任意の に対して, が成立するとき, はH-spaceであるとい…

突然ですが, は においてどのように因数分解されるでしょうか. 代数閉包上で因数分解すれば解けますが, 代数的整数論を仮定したら次のように示せます. 以下, とする. は3次アーベル拡大体であって, の判別式を計算すると なので, の整数環における有理素数p…

とする. ただし, は で生成される のイデアル. このとき, アーベル群として が成立. また, は以外の冪等元を持たない. 実際, は, 有限和 と一意的に書けて, に注意すれば, 冪等元は のみ. また, が群同型を与える.

数式がはてなブログに書けるかテスト.