加法群と乗法群が群同型となる単位的可換環の例

 R=\mathbb{F}_{2}[X_{1}, X_{2}, \dots ]/I とする.

ただし,  I \{ X_{i}X_{j} \mid i, j \geq 1 \}で生成される  \mathbb{F}_{2}[X_{1}, X_{2}, \dots ]イデアル.

このとき,  アーベル群として

  R \cong \displaystyle\bigoplus_{k=0}^{\infty} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \cong R^{\times}  

が成立.

また,  R 0, 1以外の冪等元を持たない.

実際,  f \in R は, 有限和 

 f=a_{0} + \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_k X_k \quad (a_{k} \in \mathbb{F}_{2})

と一意的に書けて,  f^{2}=a_{0}^{2} に注意すれば, 冪等元は f=a_{0}=0, 1 のみ.

また,

 R \ni f \mapsto (a_{k})_{k=0}^{\infty} \mapsto 1 + \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} a_{k-1} X_k \in R^{\times}

 が群同型を与える.