ある3次多項式の有限体上での因数分解の様子

突然ですが, X^{3}-3X+1 は \mathbb{F}_p[X] においてどのように因数分解されるでしょうか.

 代数閉包上で因数分解すれば解けますが, 代数的整数論を仮定したら次のように示せます.

 

以下, \zeta=e^{2\pi\sqrt{-1}/9} とする.

 

K=\mathbb{Q}(\zeta+\zeta^{-1}) は3次アーベル拡大体であって,

K の判別式を計算すると 3^{4} なので,

K の整数環 \mathcal{O}_{K}における有理素数pを素イデアル分解の様子は, 

p=3 のときのみ, 分岐して, p=\mathfrak{p}^{3}.

 

また, \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q}) \cong (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^{\times} において,

中間体 K は部分群 H=\{ \pm 1+9\mathbb{Z} \} と対応してるので,

有理素数 p \neq 3 は, f=\min\{ n \in \mathbb{Z}_{\gt 0} \mid p^n + 9\mathbb{Z} \in H \} とすれば,

3/f 個の相異なる素イデアルの積に分解します.

 

したがって, p \equiv \pm 1 \pmod{9} のとき, p=\mathfrak{p}_{1}\mathfrak{p}_{2}\mathfrak{p}_{3} ,

p \equiv \pm 2, \pm 4 \pmod{9} のときは, pは素イデアル.

 

\zeta+\zeta^{-1} の \mathbb{Q} 上の最小多項式は X^{3}-3X+1 \in \mathbb{Z}[X] なので,

X^{3}-3X+1 \in \mathbb{F}_{p}[X] は,

p=3 のとき, (X+1)^{3},

p \equiv \pm 1 \pmod{9} のとき, 相異なる一次式の3つの積,

それ以外の p では, \mathbb{F}_{p} 上既約と分かります.