H-spaceの基本群はアーベル群

(数式がうまく表示されないようです.)

\( \textbf{Definition.} \)

位相空間 X 上に連続な二項演算

\( m \colon X \times X \to X \)

\qquad (x, y) \mapsto x \ast y

が定まっているとする.

このとき, 単位元 e \in X が存在するとき, すなわち,

任意の x \in X に対して,

e \ast x = x = x \ast e

が成立するとき,  (X, m, e) はH-spaceであるという.

 

\textbf{Proposition.}

H-space (X, m, e) の基本群 \pi_{1}(X, e) はアーベル群.

 

\textbf{Proof.}

連続写像 m が基本群に誘導する準同型

m_{\ast} \colon \pi_{1}(X, e) \times \pi_{1}(X, e) \cong \pi_{1}(X \times X, (e, e) ) \to \pi_{1}(X, e)

を考えれば, 

[c_{1}], [c_{2}] \in \pi_{1}(X, e) に対して,

[c_{1}] \ast [c_{2}]:=[c_{1}\ast c_{2}]\in\pi_{1}(X, e)

がwell-definedに定まる.

ただし,

c_{1} \ast c_{2} (t) := c_{1}(t) \ast c_{2}(t) \quad (t \in [0,1] )

とする. このとき, e を基点とする定値ループも同じ記号 e で表せば,   [c] \ast [e]=[c]=[e] \ast [c]  を満たす.

道の積を c_{1} \cdot c_{2} とすれば, e を基点とするループ c_{i} \, (1 \leq i \leq 4) に対して, 

([c_{1}] \cdot [c_{2}] ) \ast ([c_{3}] \cdot [c_{4}]) = ([c_{1}] \ast [c_{3}]) \cdot ([c_{2}] \ast [c_{4}])

が成立. よって, [c] を単に c と略せば, \pi_{1}(X, e) において,

c_{1} \cdot c_{2} = (c_{1} \cdot e) \ast (e \cdot c_{2}) = c_{1} \ast c_{2},

c_{2} \cdot c_{1} = (e \cdot c_{1}) \ast (c_{2} \cdot e) = c_{1} \ast c_{2}.