コンパクト集合の共通部分

2本の  \mathbb{R} を原点以外で同一視した商空間を  Xとします. 


すなわち,  X:= (\mathbb{R} \times \{0, 1\})/{\sim}.

だだし,  \sim  (x, 0) \sim (x,1) \, (x \neq 0) の生成する最小の同値関係.


つまり,  X は“原点が2つある \mathbb{R}”です.

 

 Xは局所ユークリッドだがハウスドルフ空間でない T_1空間の例になっています. (2つの原点は開集合で分離できないため.)

 

2つの原点をそれぞれ端点とする閉区間  [0,1] \times \{i\} \, (i \in \{0,1\}) の像は共にコンパクトですが, 

共通部分は (0,1] \times \{0\}の像になりコンパクトではありません.

 

(文字の大きさがなぜか異なってるので後で修正したい.)