対称差の結合律について

以下, 全体集合を $X$ とします. 集合 $A, B \in \mathfrak{P}(X)$ に対して,

$A \bigtriangleup B := (A \setminus B ) \cup (B \setminus A)$

を対称差と言います.

実は, $\mathfrak{P}(X)$ は対称差 $\bigtriangleup$ を加法, 交叉 $\cap$ を乗法として単位的可換環の構造が入ります. 零元, 単位元はそれぞれ $\varnothing, X$ です.

この事実は地道にやれば確かめることができますが, 対称差の結合律だけ少し面倒です. 以下, 少し工夫して上の事実を示します.

$f \colon \mathfrak{P}(X) \ni A \mapsto \chi_{A} \in (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{X}$

ただし, $\chi_{A}=(a_{x})_{x\in X}$ は, $a_{x}=1 \, (x \in A), \, 0 \, (x \in X \setminus A)$ と定めます.

このとき, $f$ は全単射です. 終域の直積環から全単射によって $\mathfrak{P}(X)$ に誘導される演算により, $\mathfrak{P}(X)$ に環構造が入ります. ここで, $f$ の定義より, 加法が対称差, 乗法が交叉と一致することが分かります. また, $\varnothing \mapsto (0)_{x}$ および, $X \mapsto (1)_{x}$ より, 零元と単位元も分かります. $\Box$

(作成中)